Reglerentwurf

Bei nichtlinearen Systemen können zahlreiche Phänomene auftreten, die in der Welt der linearen Systeme nicht möglich sind. Daher gestaltet sich die Regelung nichtlinearer Systeme in der Regel auch schwieriger.

Übersicht:

Regelung unteraktuierter Systeme

Ein mechanisches System nennt man unteraktuiert, wenn die Anzahl der Stelleingriffe (eingeprägte Kräfte bzw. Momente) kleiner ist als die Anzahl der mechanischen Freiheitsgrade. Stimmt dagegen die Anzahl der Stelleingriffe mit der Anzahl der mechanischen Freiheitsgrade überein, so spricht man von vollständig aktuierten bzw. vollständig direkt gesteuerten Systemen. Während die Modellierung bei beiden Systemklassen (unteraktuiert bzw. vollständig aktuiert) in der gleichen Weise mit den gängigen Methoden der Starrkörpermechanik erfolgen kann (z.B. Newton, Euler-Langrange, Hamilton), sind unteraktuierte Systeme regelungstechnisch meist deutlich schwerer zu beherrschen als vollständig aktuierte Systeme. Der Übergang zu einem unteraktuierten System würde aus technischer Sicht der gezielten Einsparung von Antrieben entsprechen und damit eine Möglichkeit zur Material- bzw. Kosteneinsparung eröffnen. Für Spezialanwendungen (z.B. in der Weltraumtechnik) könnte auch die Gewichtsreduktion relevant sein. Ebenso kann es notwendig sein, bestimmte Systeme auch im Fall eines Aktordefekts noch gezielt beeinflussen zu können.

Beispiel: Unteraktuierter ebener Zweigelenkmanipulator

Grundsätzlicher Aufbau Versuchsstand

Veröffentlichungen:

Gezielte Generierung von Grenzzyklen mittels Zustandsrückführung

Typischerweise werden Regler zur Stabilisierung von Ruhelagen entworfen. Bedingt durch nicht modellierte diskontinuierliche Effekte (z. B. Hysterese, Lose, Totzone, ...) stellen sich beim praktischen Einsatz trotzdem Schwingungen ein. Als Alternative zum Reglerentwurf für eine Ruhelage stellen wir einen Ansatz vor, bei dem ein nichtlinearer Zusandsregler einen gewünschten Grenzzyklus in das System einbringt und stabilisert. Bei diesem Grenzzyklus sind Frequenz, Amplitude und Einschwingverhalten gezielt vorgebbar. Die entwickelte Entwurfssystematik wurde an verschiedenen Systemen simulativ verifiziert und am Versuchsstand eines beweglich gelagerten inversen Pendels experimentell erprobt.

Veröffentlichungen/Vorträge:

Systematische Berechnung flacher Ausgänge für nichtlineare Systeme

Kennt man für ein nichtlineares System einen flachen Ausgang, dann vereinfacht diese Kenntnis den Entwurf von Vorsteuerungen bzw. Regelung erheblich. Die Überprüfung eines konkreten Systems auf Flachheit bzw. das Auffinden eines flachen Ausgangs gestaltet sich dagegen in der Regel wesentlich komplizierter. In [1] werden einige Spezialfälle behandelt. Ein sehr allgemeines Verfahren zum Auffinden flacher Ausgänge wird in [2] beschrieben und an mehreren Beispielen illustriert.

Bei Mehrkörpersystemen kann der flache Ausgang sowohl von den verallgemeinerten Positionen als auch von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten abhängen. Ein mechanisches System nennt man konfigurationsflach, wenn sich der flache Ausgang ausschließlich über die Positionen angeben lässt. Die Systemeigenschaft der Konfigurationsflachheit wird in [4] für lineare System untersucht.

Veröffentlichungen

  1. Franke, M.; Röbenack, K.: Some remarks concerning differential flatness and tangent systems.
    Proc. in Applied Mathematics and Mechanics, 2012, 12(1), S. 729-730.
  2. Franke, M.; Röbenack, K.. On the Computation of Flat Outputs for Nonlinear Control Systems.
    Proc. European Control Conference (ECC) 2013, S. 167-172.
  3. Knoll, C.; Röbenack, K.: On Configuration Flatness of Linear Mechanical Systems.
    Proc. European Control Conference (ECC) 2014. S. 1416-1421.

Entwurf von Trajektorienfolgeregelungen mittels approximativer Linearisierung

Die exakte Eingangs-Zustands-Linearisierung stellt einen elganten Zugang dar, um durch Kombination einer nichtlinearen Zustandstransformation mit einer nichtlinearen Zustandsrückführung ein gegebenes nichtlineares System in ein steuerbares lineares System zu überführen. Bei eingangsaffinenen SISO-Systemen ist die exakte Zustandslinearisaierbarkeit äquivalent zur Flachheit. Selbst in diesem Spezialfall sind die Existenzbedingungen für einen flachen Ausgang sehr restriktiv. In den angegebenen Veröffentlichungen wird ein Zugang beschrieben, mit dem die explizite Berechnung eines flachen Ausgangs umgangen wird. Der Reglerentwurf erfolgt unmittelbar auf Ebene einer Bahnlinearisierung.

Veröffentlichungen

  1. Röbenack, K.; Paschke, F.: Approximately linear tracking control of nonlinear systems.
    Proc. in Applied Mathematics and Mechanics, 2012, 12(1), S. 713-714.
  2. Röbenack, K.; Paschke, F.; Knoll, C.: Nonlinear Control with Approximately Linear Tracking Error.
    Proc. European Control Conference (ECC) 2013, S. 149-154.

Eigenwertzuweisung durch statische Ausgangsrückführungen

Die Frage nach der beliebigen Eigenwertzuweisbarkeit durch eine statische Ausgangsrückführung beschäftigte über mehrere Jahrzehnte zahlreiche Wissenschaftler bzw. Forschergruppen. Dieses Problem wurde in [1] gelöst. Eine numerische Implementierung, die auf dem Gauß-Newton-Verfahren basiert, wurde in [2] vorgestellt. Die entwickelten Ansätze lassen sich auch zum Entwurf dynamischer Ausgangsrückführungen mit besonders niedriger Ordnung nutzen [3].

Veröffentlichungen

  1. Franke, M.: Eigenvalue assignment by static output feedback - on a new solvability condition and the computation of low gain feedback matrices. International Journal of Control, 2014, 87(1), 64-75.
  2. Franke, M.; Röbenack, K.: Calculation of constant output feedback matrices for pole placement by a Gauss-Newton method.
    Control and Intelligent Systems, 2014, 42(3), 225-230.
  3. Franke, M.; Röbenack, K.: Pole placement by dynamic output feedback of minimal order.
    Talk given at the 85th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM),
    Erlangen, March 10-14, 2014.

Messerschlagkompensation beim Umfangsfräsen durch aktorgesteuerte Schnittbewegung

Spanungsprozesse, bei denen die Richtungen der Vektoren der Schnitt- und Vorschubbewegung nicht gleich sind, erzeugen auf den gefertigten Flächen am Werkstück sehr oft spezielle prozessbedingte, regelmäßige kinematische Oberflächentopografien. Dies trifft z. B. auf Umfangsfräsverfahren zu, wobei hier sogenannte Messer- oder Hobelschläge entstehen. Man spricht in diesem Zusammenhang von einer kinematischen Rauheit bzw. Welligkeit. Die Gestalt der Oberfläche, die durch diese periodische Bearbeitungsspuren gekennzeichnet ist, muss in vielen Fällen als gegeben hingenommen werden und kann nur durch präzise Schneideneinstellung und angepasste Wahl der kinematischen Einstellgrößen (Werkzeugdrehzahl, Vorschubgeschwindigkeit, Schneidenzahl) minimiert werden. Eine Reihe von Feinbearbeitungsverfahren (Finieren, Schleifen) werden anschließend eingesetzt, um diese topografischen Abweichungen von der gewünschten ebenen Gestalt der gefertigten Fläche zu egalisieren.

Die Topografie der Messerschläge auf dem Werkstück resultiert aus den Werkzeug- und Werkstückbewegungsverhältnissen, die durch regelmäßige, periodische Bewegungsbahnen einer verlängerten Zykloide entsprechen (Abbildung links). Basierend auf einer Idee des Institutes für Holz- und Papiertechnik der TU Dresden, soll ein neuartiger Stellmechanismus an der Werkzeugschnittstelle (Lagerung) entwickelt werden, welcher die in der Ausgangssituation beschriebenen gegenwärtigen Zustände beim Umfangsfräsen verbessern kann. Dabei wird über eine komplette Werkzeugverschiebung im Mikrobereich eine generelle Flugkreiskorrektur bzw. eine phasenweise gesteuerte Flugbahnanpassung realisiert. Diese Verstellung soll letztendlich zu einer Minimierung der Messerschläge und zu einer Verringerung des schlagartigen Eingreifens der Schneide ins Werkstück führen. Es ist angedacht, im Eingriffsbereich der späteren gefertigten Werkstückoberfläche die Flugbahn der Schneide am Werkzeug kurzzeitig einer linearen Schnittbewegung anzupassen. Die geringen radialen Stellwege von wenigen Mikrometern sollen durch geeignete, heute verfügbare elektromechanische oder andere Aktoren (bspw. Piezoaktoren) an der Werkzeugschnittstelle bzw. -lagerung realisiert werden. Eine Möglichkeit zur Kompensation der bogenförmigen Wirkbewegung beim Umfangsfräsen besteht in der entsprechenden linearen Bewegung des kompletten Umfangsfräswerkzeuges in der Arbeitsebene senkrecht zur Vorschubrichtung (Abbildung rechts).

Zykloidenartige Schnittbewegung

Linearisierte Schnittbewegung

Veröffentlichung:

Auslegung von Sensoren nach dem Kompensationsprinzip

In Zusammenarbeit mit dem Institut für Festkörperelektronik der TU Dresden wurden für den Entwurf von Sensoren die Ausschlagsmethode (deflection method) und die Kompensationsmethode miteinander verglichen. Bei der Kompensationsmethode ist ein Regler zu entwerfen. Für P-, PI- und PID-Regler wurden systematische Entwurfskriterien angegeben und katalogisiert. Grundsätzlich sit die vorgeschlagene Methode auch bei bestimmten Klassen nichtlinearier Systemmodelle anwendbar (z.B. auf Basis des Satzes der kleinen Kreisverstärkung oder des Stabilitätstests von Popov).

Veröffentlichung:

Entwurf von Trajektorienfolgeregelungen mittels approximativer Linearisierung