Deskriptorsysteme

Bei vielen technischen Systemen führt die Modellierung in sehr natürlicher Weise auf Kombinationen von gewöhnlichen Differentialgleichungen und algebraischen Nebenbedingungen. Die Differentialgleichungen entstehen z. B. durch die Strom-Spannungs-Relationen von Kapazitäten und Induktivitäten oder durch die Bewegungsgleichungen bei mechanischen Systemen. Als algebraische Nebenbedingungen kommen u. a. die Kirchhoffschen Gesetze (Knotensatz, Maschensatz) in Frage oder holonome bzw. nichtholonome Zwagsbedingungen. Man spricht dann von Deskriptorsystemen bzw. Differential-algebraischen Gleichungen (engl. differential-algebraic equations, DAEs). Aus mathematischer Sicht handelt es sich um implizite gewöhnliche Differentialgleichungen.

Lineare zeitinvariante Deskriptorsystem können in der Form $$E\dot{x}=Ax+Bu$$ mit geeigneten Matrizen $E,A,B$ angegeben werden.

Buchveröffentlichung:

Systemstruktur und struktureller Index

Bei Deskriptorsystemen können Phänomene auftreten, die bei Zustandsraumdarstellungen prinzipiell nicht möglich sind. Unter bestimmten Umständen können beispielsweise kleine Störungen am Eingang beliebig große Fehler in der Lösung verursachen. Eine Größe, die wesentliche Probleme des konkreten Deskriptorsystems qualitativ beschreibt, ist der Index. Bei genauerer Betrachtung ist der Index nur eine Größe unter verschiedenen Strukturindizes, die sich im Falle linearer zeitinvarianter Systeme durch die Weierstraß- bzw. Kronecker-Normalform beschreiben lassen. Diese Normalformen können als Verallgemeinerungen der Jordan-Normalform für Matrizen auf reguläre und singuläre Matrizenschaaren aufgefasst werden.

Veröffentlichungen:

Singuläre Deskriptorsysteme und verallgemeinerte Inverse

Im linear-zeitinvarianten Fall sind singuläre Deskriptorsysteme dadurch gekennzeichnet, dass bei ihnen die die Systemdynamic beschreibende Matrizenscharr sE-A nicht invertierbar (d. h. nicht regulär, sondern singulär) ist. Das trifft beispielsweise auf rechteckige Matrizenschaaren zu. Wenn die klassische Inverse der Matrizenschaar sE-A nicht existiert, kann man auf verschiedene verallgemeinerte Inverse (Pseudoinverse, Drazin-Inverse) zurückgreifen.

Veröffentlichungen:

Indexerhöhung in der analogen Fehlersimulation

Eine Möglichkeit zur Fehlerdiagnose von Analogschaltungen und analogen Systemkomponenten ist der Einsatz eines analogen Fehlersimulators. Dabei werden verschiedene Fehler (z.B. Kurzschluß oder Unterbrechung) in die Schaltung injieziert und das Verhalten der so modifizierten Schaltung simuliert. Die Injektion eines Fehlers in eine bestehende Schaltung kann den Index der entsprechenden Netzwerkgleichungen erhöhen.

Veröffentlichungen:

  • Straube, B.; Reinschke, K.; Vermeiren, W.; Röbenack, K.; Müller, B.; Clauss, C.: On the Fault-Injection-Caused Increase of the DAE-Index in Analogue Fault Simulation. Proc. Fourth IEEE European Test Workshop (ETW'99), ISBN: 0-7695-0390-X.
  • Straube, B.; Reinschke, K. J.; Vermeiren, W.; Röbenack, K.; Müller, B.; Clauß, C.: DAE-Index Increase in Analogue Fault Simulation.
    In: Merker, R.; Schwarz, W. (Hrsg.): System Design Automation. Fundamentals, Principles, Methods, Examples. Kluwer Academic Publishers, Boston, Dordrecht, London, 2001, S. 221-232.

Regularisierung von Netzwerkgleichungen

In manchen Fällen können Überidealisierungen zu Netzwerkgleichungen mit höherem Index führen, deren Simulation sehr problematisch ist. Etliche Forschergruppen haben daher Methoden entwickelt, um die erzeugten und zu simulierenden Differential-Algebraischen Gleichungen zu regularisieren bzw. den Index auf 1 zu reduzieren. Ein anderer, von uns entwickelter Zugang besteht darin, das Netzwerkmodell in möglichst einfacher Weise durch Einfügen zusätzlicher Widerstände so zu modifizieren, das die unterlagerten Netzwerkgleichungen den Index 1 aufweisen.

Vorgehen bei einer Index-1-Reduktion auf Netzwerkebene

Veröffentlichungen:

Beobachterentwurf für semi-explizite differential-algebraische Gleichungen

Der von Krener und Isidori entwickelte Ansatz zur exakten Linearisierung des Beobachtungsfehlers durch Aufschaltung der Nichtlinearität wird im u.g. Beitrag auf semi-explizite Index-1-Deskriptorsysteme erweitert und an einem Netzwerkbeispiel mit Tunneldiode erläutert.

Veröffentlichungen: